线性代数的本质 笔记

  • 作者:sdau20171754
  • 分类: 数学
  • 发表日期:2020-04-25 18:36:34
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计划下周开始复习线代,打算先把大名鼎鼎的线代的本质,从几何上理解一下线性代数,推荐复习线代的小伙伴看一下,很不错的视频,这是有关的笔记,仅供个人使用,推荐大家还是看视频

向量是什么

  • 物理专业:向量是空间中的箭头,由长度和方向决定
  • 计算机专业:向量是有序的数字列表
  • 数学家:向量可以是任何东西,只要保证向量相加、数字与向量的相乘有意义即可

当在坐标系下以有序多元数组的形式表示向量时,不同位置上的数字代表在相应坐标轴上的投影长度

当把向量视作一种运动时,向量加法可以视为依次进行各个运动,即向量的首尾相连,反映到数值上,就是对应数值项的相加

从几何角度看,向量数乘就是向量的缩放,反映到数值上,就是各个数值项都乘以标量

线性代数的两种基本运算:向量加法和向量数乘

线性组合,向量空间和基

向量:基向量根据坐标值进行缩放并相加的结果  //用数字描述向量时,都依赖于当前采用的基(i帽,j帽)

线性组合(数乘和加法):两个数乘向量的和(二维)    //先按标量缩放再相加

注:线性的一种解释——当固定其中一个标量aa时,让另一个标量bb自由变化时,组合向量的终点会形成一条直线

向量张成的空间:给定向量所有线性组合向量的集合

线性相关:存在某向量可以表示为其他向量的线性组合 ,即此向量落在其他向量张成的空间中,可以移除而不减小张成的空间,二维向量成为一条直线,三维,向量落在一个平面中

有多个向量时,可以用向量的终点表示向量

线性无关:所有向量都给张成的空间添加新的维度

基:向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集

线性变换

变换和函数意义相同,接受一个向量输出一个向量,一个输入向量移动到输出向量位置

线性变换:

直线在变换后依然是直线,原点必须保持固定,保持网格平行且等距分布的变换

记录基向量变换位置

变换后的v的位置是变换后的i帽与-1之积加上j帽与2之积,变换后i帽和j帽的线性组合,

计算变换后的位置只需记录变换后的记录的位置而不需知道变换

可以写成2*2的矩阵

把(a,c)看成变换后的第一个基向量,(b,d)看成变换后的第二个基向量,加和结果定义为矩阵向量

的乘积

可以把矩阵看做变换的基向量的线性组合

坐标轴逆时针旋转90度,i帽变成(0,1),j帽变成(-1,0),任何一个坐标变换后结果可以用上面的矩阵乘法表示

线性变换是操纵平面的一种手段,保持网格线平行且等距,保持原点不变

矩阵可以看成空间的特定变换

矩阵乘法

进行旋转和剪切后的复合运算

记录i帽j帽的最终位置

新矩阵写成最初两个矩阵的乘积

矩阵乘积看成两个矩阵相继变换的结果

从右向左读,先进行右边矩阵的变换

M1变换后的i帽是(1,1),经M2变换后得到(2,1),得到复合矩阵第一列

类似可得第二列

矩阵相乘时结果影响结果,变换后得到的i帽和j帽不同,变换顺序有影响

矩阵的结合律:

(AB)C=A(BC)

首先应用C变换然后应用B变换然后A变换与首先应用C变换然后应用B变换然后A变换作用相当

同样变换同样顺序,很容易看出等价

三维空间变换

记录变化后的i帽,j帽,k帽,写成矩阵的3列,推理过程与二维类似

行列式

测量一个给定区域面积增大或减小的比例

每个小方格进行一个比例的缩放,所有的小方格也进行同样比例的缩放

这个比例,即线性变换改变面积的比例被称为线性变换的行列式

一个线性变换行列式是3,面积变为原来的3倍

一个线性变换行列式为0,将平面压缩在一条线或一个点上,压缩到更小的维度

可能出现负值,空间定向发生改变,绝对值仍为面积缩放比例

三维空间意义,体积的缩放比例,可简单看成平行六面体体积

行列式为0压缩成一个平面或列或点,线性相关

定向,右手定则

逆矩阵,列向量,秩

能帮我们求解特定方程组

只允许加和

 

矩阵A代表线性变换,寻找一个向量x变换后与y重合

A行列式不为0,

逆变换:

A逆首先应用A代表的变换,再应用A逆的变换,会回到原始状态,

A逆乘A=什么都不做的变换恒等变换

两边同乘A的逆求解方程组

行列式为0时,压缩到更低维度上,没有逆变换

将一个单向量变成一条

逆向量不存在,解也有可能存在

变换后结果在直线上,一维,秩为1,变换后结果在平面上,秩为2

秩代表变换后空间的维数

矩阵的列表示基向量变换后的位置,列所张成的空间就是列空间

秩列空间的维数,秩与列数一致,满秩,列空间一定包含0向量

矩阵的零空间(核kernel):变换后落在原点的向量集合,即满足Ax=0

非方阵情况

3*2 矩阵将2维向量映射为3维,2个基向量,用3个坐标表示

2*3矩阵,将二维向量应设为3维

点积:

标准定义:对应相乘后再相加

几何定义

 表示把v在w上的投影长度乘上w的长度,同向为正,反向为负,垂直为0

也可以看成v在w上的投影

输入二维向量转换成一个数

选定单位向量u,i帽变换到u轴的单位向量等于u在x轴上的投影,即u的x坐标

可以得到几何定义

任何时候看到一个输出空间为一维数轴的线性变换,空间中会存在唯一的向量vv与之相关,所以应用变换和与向量v做点积是一样的(对偶性duality)

点积是理解投影的有利几何工具,并便于检验两个向量的指向是否相同

两个向量点乘:将其中一个向量转换为线性变换

叉积

顺序对叉积有影响,v在w左侧结果为负

与一个将i帽j帽分别移至v和w的线性变换相对应

行列式变化前后面积比例的度量

行列式给出平行四边形的面积

接近垂直时结果更大

真正的叉积通过两个3维向量变成一个3维向量

方向由右手定则确定

 

应用向量变换和这个向量的点乘等价,每当你看到一个从空间到数轴的变换,你都能找到一个向量,

称为变换的对偶向量,应用线性变换和向量点乘等价

p与其他向向量的点乘的几何解释,将其他向量投影到p上,投影长度与p的长度相乘

寻找这样一个向量p

首先获得由v和w确定的平行四边形的面积

乘以向量(x,y,z)在垂直于平行四边形方向上的分量

给出的线性函数对向量的作用是将这个向量投影到垂直于v和w的直线上,然后将投影长度与v和w张成的平行四边形面积相乘

基变换

i帽扩大3倍,j帽扩大2倍

使用不同基向量

直接计算-1*b1+(-2)*b2

矩阵的列为b1,b2在我们的眼中的坐标

将我们眼中的(1,0),(0,1)变成詹妮弗眼中的(1,0),(0,1)

逆变换将所选矩阵变换逆过来

将我们的向量表示变成詹妮弗坐标系下的向量表示,基变换矩阵的逆

我们的(3,2)转化成詹妮弗的向量

转化矩阵,接受詹妮弗的向量输出也是詹妮弗的向量

第一步将詹妮弗的向量转化为我们的向量表示,乘以线性变化矩阵得到的仍是我们的向量表示,在乘以基变换的逆转化为詹妮弗的

向量表示

外边矩阵代表视角变换

特征值

任何其他向量都有或多或少的变化离开张成的直线

左边矩阵向量乘积右边向量数乘,将右边写成矩阵形式

非0特征向量

将空间压缩到更低维度上

 

特征基

倍数-1,2,i帽j帽所属的特征值

形成的是对角矩阵,所有基向量都是特征向量,矩阵的对角元是所述的特征值

一组基向量构成集合称为一组特征基

计算矩阵100次幂,先换到特征基在那个坐标系下计算100次方再变回标准系

不是所有变换都可以这么做,必须特征向量能张成全空间

抽象向量空间

向量空间的公理


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